近年の機械学習の発展により、以前に比べ飛躍的に自然言語処理の分野は進展していますが、それでも文脈解析や文章の意味を捉えるのは未だに困難と言われています。

現在の自然言語処理では、様々な自然言語やデータ処理の技術を組み合わせて行っていますが、機械学習、さらにはその前提となる統計的自然言語処理が主流となっています。
統計的自然言語処理では、辞書やルールを得るために、コーパスというデータを使用しています。コーパスというのは、自然言語の文章を大量に集め、構造化・集積したデータベースです。まずこれを整備する必要があります。

コーパスを元に辞書やルールが作成できたら、実際の処理を行っていきます。
まず、作成した辞書やルールを元に、形態素解析を行います。
形態素解析というのは、文章をこれ以上分割できない最小の単位に分割する作業を指します。

続いて構文解析を行い、形態素解析で取得した単語の関係性を解析します。主語、述語、形容詞などの係り受けを分析します。ただ、ここでは意味を考慮していないため、複数の係り受け構造が発見される可能性があります。

その次は意味解析です。構文解析で解析した係り受け構造を解析し、正しい意味を示す構造を選択します。

最後に質問にもあった文脈解析です。
文脈解析では、複数の文を解析し、それぞれの関係性を解析します。前の文章とのつながりで意味が変わる文章や、指示代名詞などの解析を行います。
これら複数の解析により、自然言語処理は成り立っています。